Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中，A（10，0），B（8，6），直線x=4與直線AC交于P點(diǎn)，與x軸交于H點(diǎn)；
（1）直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AC的解析式；
（2）求出線段PH的長度，并在直線AC上找到Q點(diǎn)，使得△PHQ的面積為△AOC面積的

1

5

，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）M點(diǎn)是直線AC上除P點(diǎn)以外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問：在x軸上是否存在N點(diǎn)，使得△MHN為等腰直角三角形？若有，請求出M點(diǎn)及對應(yīng)的N點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥OA于點(diǎn)E，BF⊥OA于F，由條件可以得出△OEC≌△AFB，得出OE=AF，由A（10，0），B（8，6）可以得出0A=10，OF=8，BF=6，進(jìn)而就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法就可以求出AC的解析式．
（2）x=4可以求出P點(diǎn)坐標(biāo)，由Q點(diǎn)在AC上，設(shè)出Q的坐標(biāo)，可以表示出△PHQ和△AOC的面積，由題意的面積關(guān)系建立等量關(guān)系就可以求出結(jié)論．
（3）由條件當(dāng)∠MNH=90°或∠HMN=90°，則過M作MM′⊥x軸交于M′點(diǎn)，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系就可以求出其M的坐標(biāo)然后由M的坐標(biāo)就可以求出對應(yīng)的N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作CE⊥OA于點(diǎn)E，BF⊥OA于F，
∴∠CEO=∠BFA=90°，CE∥BF，
∴OA∥BC，
∴四邊形ECBF是平行四邊形，
∴CE=BF．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴OC=AB，
∴△OEC≌△AFB，
∴OE=AF，
∵A（10，0），B（8，6），
∴0A=10，OF=8，BF=6，
∴OE=2
∴C（2，6）
∵直線AC過點(diǎn)A（10，0），C（2，6），
設(shè)直線AC解析式為：y=kx+b（k≠0）
根據(jù)題意得：

0=10k+b 6=2k+b

解得：k=-

3

4

，b=

15

2

，
∴直線AC：y=-

3

4

x+

15

2

（2）將x=4代入上述解析式，y=

9

2

，即PH=

9

2

∵Q點(diǎn)在直線AC上，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-

3

4

t+

15

2

）
由題知：

1

2

PH•|t-4|=

1

5

×

1

2

OA•|y_C|，

1

2

×

9

2

|t-4|=

1

5

×

1

2

×10×6

9

4

|t-4|=6
解得t=

20

3

或

4

3

，
即滿足題意的Q點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Q₁（

20

3

，

5

2

）或Q₂（

4

3

，

13

2

）  

（3）存在滿足題意的M點(diǎn)和N點(diǎn)．
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-

3

4

a+

15

2

），當(dāng)a＞10時(shí)，無滿足題意的點(diǎn)；
①若∠MNH=90°，則MN=HN，即-

3

4

a+

15

2

=|a-4|，
解得a=

46

7

或-14，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

46

7

，

18

7

）或（-14，18）；  N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

46

7

，0）或（-14，0）；
②當(dāng)∠HMN=90°，則MN=MH，作MM′⊥OA于M′．即-

3

4

a+

15

2

=|a-4|，
解得a=

46

7

或-14，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

46

7

，

18

7

）或（-14，18）；  N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

64

7

，0）或（-32，0）．             
綜上，當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

46

7

，

18

7

）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為N₁（

46

7

，0）或N₂（

64

7

，0）；
當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-14，18）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為N₃（-14，0）或N₄（-32，0）．

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)．