Question

14、已知關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0，甲、乙兩人做游戲：他們輪流確定實(shí)數(shù)a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=10），讓甲先確定數(shù)，如果方程至少有一個(gè)解x₀，滿足-1≤x₀≤1，那么乙得勝；反之，則甲得勝．
（1）若a，b，c只能取非零實(shí)數(shù)，甲是否有必勝策略？為什么？
（2）若a，b，c可以取零，甲乙兩人中誰有必勝策略？為什么？

Answer 1

分析：（1）甲先選b=1，不論乙選a或c，甲總可以再選c或a，讓ac＞0，使得△=1-4ac＜0，說明甲有必勝策略；
（2）①若甲先選a或b，則乙可選c=0，這時(shí)x=0必是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)解；
②若甲先選c≠0，則乙可令a=-c，設(shè)y=ax²+bx+c，x=-1和x=1的函數(shù)值的積小于0，說明圖象的交點(diǎn)在-1和1之間，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1內(nèi)的實(shí)根，即甲不論再選b為何值，乙總可以獲勝．
說明若a，b，c可以取零，乙有必勝策略．

解答：解：（1）如果a，b，c是非零實(shí)數(shù)，那么甲有必勝策略：甲先選b=1，不論乙選a或c，甲總可以再選c或a，使得△=1-4ac＜0，從而方程ax²+bx+c=0無解，即對于任意x，y≠0，所以甲必勝；
（2）如果a，b，c可以取零，那么乙有必勝策略：
①若甲先選a或b，則乙可選c=0，這時(shí)x=0必是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)解；
②若甲先選c≠0，則乙可令a=-c，設(shè)y=ax²+bx+c，此時(shí)x=-1，y=a+b-a；x=1，y=a-b-a，（a+b-a）（a-b-a）=-b²≤0，說明圖象與x軸的交點(diǎn)在-1和1之間，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1內(nèi)的實(shí)根，即甲不論再選b為何值，乙總可以獲勝．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根；同時(shí)考查了分類討論的思想方法和利用拋物線求一元二次方程根的范圍．