Question

如圖，正方形ABCD的對角線相交于O點，BE平分∠ABO交AO于E點，CF⊥BE于F點，交BO于G點，連接EG、OF．下列四個結(jié)論：①CE=CB；②四邊形ABGE是等腰梯形；③AE=OE；④OF=CG．其中正確的結(jié)論只有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：由四邊形ABCD是正方形，BE平分∠ABO，易求得∠EBO=22.5°，即可得∠CBE=∠CEB=67.5°，即可證得①CE=CB正確；
又由CF⊥BE，由三線合一，可得∠ECG=∠BCG=22.5°，EF=BF，易證得△ABE≌△BCG，即可得AE=BG，又由平行線分線段成比例定理，證得EG∥AB，即可得四邊形ABGE是等腰梯形；
由△OEG是等腰直角三角形，可得EG=OF，又易證得△ECG≌△BCG，即可證得AE=OE；
由∠AOB=90°，EF=BF，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得OF=CG正確．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB-BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，
∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正確；
∵CF⊥BE，
∴∠ECG=∠BCG=∠BCO=22.5°，EF=BF，
∵∠ABE=∠ABO=22.5°，
∴∠ABE=∠BCG，
∵AB=BC，∠EAB=∠GBC=45°，
∴△ABE≌△BCG，
∴AE=BG，BE=CG，
∵OA=OB，
∴AE：OA=BG：OB，
∴EG∥AB，
∴四邊形ABGE是等腰梯形；
故②正確；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴EG=OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴AE=EG=OE；
故③正確；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=BE=CG．
故④正確．
故正確的結(jié)論有①②③④．
故選D．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰梯形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．