Question

17．目前，我市正積極推進“五城聯(lián)創(chuàng)”，其中擴充改造綠地是推進工作計劃之一．現(xiàn)有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長分別為a=9（米）和b=12（米），現(xiàn)要將此綠地擴充改造為等腰三角形，且擴充部分為含以b=12（米）為直角邊的直角三角形，則擴充后等腰三角形的周長為40米或48米或（30+6$\sqrt{5}$）米．

Answer 1

分析 分三種情形討論即可，①AB=BE₁，②AB=AE₃，③E₂A=E₂B，分別計算即可．

解答 解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=9，AC=12，∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=15，
①當BA=BE₁=15時，CE₁=6，
∴AE₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{E}_{1}}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴△ABE₁周長為（30+6$\sqrt{5}$）米．
②當AB=AE₃=15時，CE₃=BC=9，BE₃=18，
∴△ABE₃周長為48米．
③當E₂A=E₂B時，作E₂H⊥AB，則BH=AH=7.5，
∵∠B=∠B，∠ACB=∠BHE₂=90°，
∴△BAC∽△BE₂H，
∴$\frac{BH}{BC}$=$\frac{B{E}_{2}}{AB}$，
∴BE₂=$\frac{25}{2}$，
∴△ABE₂周長為2×$\frac{25}{2}$+15=40米．
綜上所述擴充后等腰三角形的周長為40米或48米或（30+6$\sqrt{5}$）米．

點評 本題考查等腰三角形的定義、勾股定理、三角形周長等知識，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于一題多解，注意漏解．