Question

如圖，邊長為2的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點D是線段BC上的動點（不與B、C重合）連接OD，OD的垂直平分線交AB于M，交OC于N．設(shè)CD=x，四邊形BCNM的面積為S．
（1）當x=1時，求D點坐標；
（2）求證：MN=OD；
（3）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當CD為何值時，四邊形BCNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，當x=1時，D是BC的中點，求出D點坐標；
（2）過點M作MG⊥OC垂足為G，利用正方形和矩形的性質(zhì)，等角的余角相等…證明Rt△OCD和Rt△MNG全等即可求證；
（3）由△ONE∽△ODC相似得出ON的長（用x表示），再表示出CN、CG（BM）的長，用梯形的面積計算得出S關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，進一步求最大值．
解答：解：如圖
（1）當x=1時，D是BC的中點，D點坐標為（1，2）；

（2）證明：過點M作MG⊥OC垂足為G，四邊形OABC為正方形
∴OC=OA=MG∠DCO=∠MGN=99°
又∵MN是OD的垂直平分線
∴∠MNG+∠COD=90°∠CDO+∠COD=90°
∴∠MNG=∠CDO
∴△COD≌△GMN（AAS）
∴MN=OD；

（3）∵MN是OD的垂直平分線
∴OE=OD∠NEO=90°=∠DCO∠NOE=∠DOC
∴△NEO∽△DCO
∴
∴ON==
CN=2-ON=
∴S_{四邊形BCNM}=
=
=
∴當CD=1時，四邊形BCNM的面積最大，最大值是．
點評：本題是一個綜合性很強的題目，用到了正方形的性質(zhì)，三角形全等、相似，求面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進一步用配方法求得最大值，使問題得以解決．