Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為BD弧的中點(diǎn)，AC、BD交于點(diǎn)E．

（1）求證：△CBE∽△CAB；

（2）若S_△CBE∶S_△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠BAC，

             在△CBE與△CAB中；

            ∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，

              ∴△CBE∽△CAB ．         

  （2） 解：連接OC交BD于F點(diǎn)，則OC垂直平分BD

           ∵S_△CBE：S_△CAB＝1:4，△CBE ∽△CAB

            ∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴ AC＝4EC

            ∴AE：EC＝3：1

           ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°

           ∴AD∥OC，則AD：FC＝AE：EC＝3:1

            設(shè)FC＝a，則AD＝3a，   

            ∵F為BD的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，

            ∴ OF是△ABD的中位線，則OF＝AD＝1.5a， 

            ∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，則AB＝2OC＝5a，

           在Rt△ABD中，sin∠ABD ＝ ＝   

         （本題方法眾多，方法不唯一，請酌情給分）