(2013•邯鄲一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別落在坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(1.0),拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2)若拋物線的對(duì)稱軸于AB的交點(diǎn)為M,求△ACM的面積;
(3)若將△ABC沿AB翻折,點(diǎn)C是否恰好落在該拋物線上?寫出驗(yàn)證過程;若將△ABC沿BC翻折,點(diǎn)A是否恰好落在該拋物線上?直接寫出結(jié)果.
分析:(1)過C點(diǎn)作 CE⊥x軸與點(diǎn)E,通過已知條件求出CE和OE的長(zhǎng)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),再代入y=ax2-ax-2求出a的值則可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)M,易求出F點(diǎn)的坐標(biāo),并且得到M是AB中點(diǎn),所以△ACM的面積是△ABC面積的一半,問題得解;
(3)設(shè)△ABC沿AB翻折后得到△ABD,過點(diǎn)D作DM⊥x軸,求出D點(diǎn)的坐標(biāo)再代入二次函數(shù)的解析式即可驗(yàn)證點(diǎn)C是否恰好落在該拋物線上,用一樣的方法即可驗(yàn)證,點(diǎn)A是否恰好落在該拋物線上.
解答:解:(1)過C點(diǎn)作 CE⊥x軸與點(diǎn)E,(如圖1)
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=AC∠ABC=90°,
在Rt△AOB中∠OAB+∠ABO=90°,
∵∠ABO+∠CBE=90°,
∴∠OAB=∠CBE,
∵∠CEB=∠AOB=90°,
∴△AOB≌△BEC,
∴BE=AO,CE=OB,
∵A(0,2)B(1,0),
∴AO=2,BO=1,
∴BE=2,CE=1,
∴OE=3,
∴C(3,1),
帶入 y=ax2-ax-2圖象上,
∴a=
1
2

∴y=
1
2
x2-
1
2
x-2;
(2)∵y=
1
2
x2-
1
2
x-2;(如圖2)
∴拋物線對(duì)稱軸為x=
1
2
,
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)M,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(
1
2
,0),
∴點(diǎn)F是OB的中點(diǎn),
∵M(jìn)F∥y軸,
∴M是AB的中點(diǎn),
∵在Rt△AOB中,AB=
22+12
=
5
,
∴SACM=
1
2
SABC=
1
2
×
1
2
×
5
×
5
=
5
4
,

(3)設(shè)△ABC沿AB翻折后得到△ABD,
過點(diǎn)D作DM⊥x軸,如圖(3),
∵BD=BC,∠MBD=∠EBC,∠DMB=∠CEB=90°,
∴△DBM≌△CBE,
∴BM=BE=2,DM=CE=1,
∴D(-1,-1),經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)D在拋物線y=x2-x-2上,
∴點(diǎn)C是否恰好落在該拋物線上,
同樣的方法可知:將△ABC沿BC翻折,點(diǎn)A不在該拋物線上.
點(diǎn)評(píng):本題考查了確定二次函數(shù)解析式的方法、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用和三角形的面積公式的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn),題目的綜合性很強(qiáng),難度中等.
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k1
x
(x>0)
過正方形OABC的中心E,反比例函數(shù)y2=
k2
x
(x>0)
過AB的中點(diǎn)D,兩個(gè)函數(shù)分別交BC于點(diǎn)N,M,有下列四個(gè)結(jié)論:
①雙曲線y1的解析式為y1=
1
x
(x>0)

②兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)一定會(huì)有交點(diǎn);
③MC=2NC;
④反比例函數(shù)y2的圖象可以是看成是由反比例函數(shù)y1的圖象向上平移一個(gè)單位得到
其中正確的結(jié)論是( �。�

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12
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=
1
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4
4

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3
 
÷(-ab)
,其中a=1,b=
2

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