Question

（2013•邯鄲一模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的兩個頂點分別落在坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1.0），拋物線y=ax²-ax-2經(jīng)過點C．
（1）求點C的坐標和拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸于AB的交點為M，求△ACM的面積；
（3）若將△ABC沿AB翻折，點C是否恰好落在該拋物線上？寫出驗證過程；若將△ABC沿BC翻折，點A是否恰好落在該拋物線上？直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）過C點作 CE⊥x軸與點E，通過已知條件求出CE和OE的長即可求出點C的坐標，再代入y=ax²-ax-2求出a的值則可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)對稱軸交x軸于點F，交AB于點M，易求出F點的坐標，并且得到M是AB中點，所以△ACM的面積是△ABC面積的一半，問題得解；
（3）設(shè)△ABC沿AB翻折后得到△ABD，過點D作DM⊥x軸，求出D點的坐標再代入二次函數(shù)的解析式即可驗證點C是否恰好落在該拋物線上，用一樣的方法即可驗證，點A是否恰好落在該拋物線上．

解答：解：（1）過C點作 CE⊥x軸與點E，（如圖1）
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC∠ABC=90°，
在Rt△AOB中∠OAB+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO，CE=OB，
∵A（0，2）B（1，0），
∴AO=2，BO=1，
∴BE=2，CE=1，
∴OE=3，
∴C（3，1），
帶入 y=ax²-ax-2圖象上，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²-

1

2

x-2；
（2）∵y=

1

2

x²-

1

2

x-2；（如圖2）
∴拋物線對稱軸為x=

1

2

，
設(shè)對稱軸交x軸于點F，交AB于點M，
∴點F的坐標為（

1

2

，0），
∴點F是OB的中點，
∵MF∥y軸，
∴M是AB的中點，
∵在Rt△AOB中，AB=

22+12

=

5

，
∴S_△ACM=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×

5

×

5

=

5

4

，

（3）設(shè)△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
過點D作DM⊥x軸，如圖（3），
∵BD=BC，∠MBD=∠EBC，∠DMB=∠CEB=90°，
∴△DBM≌△CBE，
∴BM=BE=2，DM=CE=1，
∴D（-1，-1），經(jīng)檢驗點D在拋物線y=x²-x-2上，
∴點C是否恰好落在該拋物線上，
同樣的方法可知：將△ABC沿BC翻折，點A不在該拋物線上．

點評：本題考查了確定二次函數(shù)解析式的方法、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用和三角形的面積公式的運用等知識點，題目的綜合性很強，難度中等．