Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A、B，且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，且點(diǎn)A到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-4）．
（1）求A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為A、B兩點(diǎn)間的拋物線上的一點(diǎn)，試求△ABE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)B作直線BC∥x軸，點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)．在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABC的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用B點(diǎn)坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）首先求出直線AB的解析式為：y=-2x-2，設(shè)E（n，-n²-3n），過E作EF∥y軸，交AB于點(diǎn)F，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-2n-2），得出S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF的最值，進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出過點(diǎn)C作AB的平行線CD的解析式一次項(xiàng)系數(shù)相等，進(jìn)而將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-4），
∴xy=k=1×（-4）=-4，
∴雙曲線y=-

4

x

，
∵點(diǎn)A到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，
∴可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-m，m）（m＞0），代入雙曲線解析式得；m=2，
∴點(diǎn)A（-2，2），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過A（-2，2），B（1，-4），O（0，0），
∴

4a-2b+c=2 a+b+c=-4 c=0

，
解得：

a=-1 b=-3 c=0

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-3x；

（2）由A（-2，2），B（1，-4），代入y=kx+d得：

-2k+b=2 k+b=-4

，
解得：

k=-2 d=-2

，
∴直線AB的解析式為：y=-2x-2，
設(shè)E（n，-n²-3n），過E作EF∥y軸，交AB于點(diǎn)F，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-2n-2），
∴EF=（-n²-3n）-（-2n-2）=-n²-n+2，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=

1

2

×（-n²-n+2）×3=-

3

2

（n+

1

2

）²+

27

8

，
∴S_△ABE的最大值為：

27

8

，
此時(shí)，n=-

1

2

，-n²-3n=

5

4

，
∴E（-

1

2

，

5

4

）；

（3）∵B（1，-4）且直線BC∥x軸，
∴令-x²-3x=-4，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∴C（-4，-4），
∴S_△ABC=5×6×

1

2

=15，
過點(diǎn)C作AB的平行線CD，交拋物線于點(diǎn)D，設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=-2x+t，
則-4=-2×（-4）+t，
解得：t=-12，
∴直線CD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=-2x-12，
令-2x-12=-x²-3x，
解得：x₁=3，x₂=-4（舍去），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-18，
∴存在點(diǎn)D（3，-18）滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出CD解析式是解題關(guān)鍵．