Question

如圖（1），AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G，且AB∥CD， 若，

（1）求BC和OF的長；

（2）求證：三點(diǎn)共線；

（3）小葉從第（1）小題的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：等式

成立，于是她得到這樣的結(jié)論：

如圖（2），在中，，，

垂足為，設(shè)，，則有等式

成立．請(qǐng)你判斷小葉的結(jié)論是否正確，

若正確，請(qǐng)給予證明，若不正確，請(qǐng)說明理由.     

 

Answer 1

（1）解：

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F，G

         ∴BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD

         ∴∠OBC+∠OCB=90°

又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8

∴

∴

即：10×OF=6×8

∴OF=4.8-

（2）

證法一：連接OE，OG

∵BO分別平分∠ABC

∴∠EBO=∠FBO

又∵AB，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F

∴∠BEO=∠BFO=90°

∴∠BOE=∠BOF

同理：∠COG=∠COF

∵∠OBC+∠OCB=90°

∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°

∴三點(diǎn)共線

證法二：連接OE，OG

∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F，G

∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°

∴在四邊形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°

同理：∠GCF+∠GOF=180°

∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°

又∵AB∥CD

∴∠EBF+∠GCF=180°

∴∠EOF+∠GOF=180°

即：三點(diǎn)共線

（3）

等式成立．理由如下：

證法一：∵，  _，∠A為公共角

∴△ACD∽△ABC

      ∴  

∴     

∴                                 

同理，

  

∴

∴       

證法二：tan∠CAB=

∴

∴    ∴

∴                                               

證法三∵

    ∴  

         ∴_，    ∴

     ∴

         ∴

∴

∴

∴