Question

6．?dāng)?shù)字不同的兩位數(shù)，將其數(shù)字交換后，得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)，則這個兩位數(shù)是56或65．

Answer 1

分析 設(shè)十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，這個兩位數(shù)就為10a+b，交換位置后為10b+a，（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），因而a+b是11的倍數(shù)即a+b=11k，且（a-b）k是完全平方數(shù)，由此討論得到解．

解答 解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，
（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），
因為a、b是不同的數(shù)字，
由此得出a+b是11的倍數(shù)，即a+b=11k，由a≤9，b≤9，即a+b≤18，所以k=1，a+b=11，
（a-b）k是完全平方數(shù)，因此（a-b）可以為0，1，4，于是得到，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=4}\end{array}\right.$，
只有一組解符合要求，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=5}\end{array}\right.$，
因此這兩位數(shù)有56，65共兩個．
故答案為：56或65．

點評 本題考查了完全平方數(shù)與整數(shù)的十進制表示法，關(guān)鍵是設(shè)出這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，然后根據(jù)題意列方程求解．