Question

已知：如圖，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D為AB延長線上一點，BD=1，點P在∠BAC的平分線上，且滿足△PAD是等邊三角形．
（1）求證：BC=BP；
（2）求點C到BP的距離．

Answer 1

分析：（1）連接PC．根據SAS證明△PAC≌△PDB，得PC=PB，∠2=∠3，再根據有一個角是60°的等腰三角形證明等邊三角形即可；
（2）作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．根據等邊三角形APD求得PF和BF的長，再根據勾股定理求得BP的長，即為BC的長，從而求得等邊三角形的一邊上的高CE的長．

解答：（1）證明：如圖，連接PC．
∵AC=1，BD=1，
∴AC=BD．
∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC，
∴∠1=

1

2

∠BAC=60°．
∵△PAD是等邊三角形，
∴PA=PD，∠D=60°．
∴∠1=∠D．
∴△PAC≌△PDB．
∴PC=PB，∠2=∠3．
∴∠2+∠4=∠3+∠4，∠BPC=∠DPA=60°．
∴△PBC是等邊三角形，BC=BP．

（2）解：如圖，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．
∵AB=3，BD=1，
∴AD=4．
∴△PAD是等邊三角形，PF⊥AB，
∴DF=

1

2

AD=2，PF=PD•sin60°=2

3

．
∴BF=DF-BD=1，
∴BP=

BF2+PF2

=

13

．
∴CE=BC•sin60°=BP•sin60°=

13

×

3

2

=

39

2

．
即點C至BP的距離等于

39

2

．

點評：此題要熟練掌握全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質以及勾股定理、銳角三角函數的概念．