Question

如圖，一次函數(shù)y=-

1

3

x+2的圖象分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，點P為線段AB上一點，PC⊥x軸于點C，延長PC交反比例函數(shù)y=

k

y

(x＞0)的圖象于點Q，且tan∠OAQ=

1

3

．連接OP、OQ，四邊形OQAP的面積為6．
（1）求k的值；
（2）判斷四邊形OQAP的形狀，并加以證明．

Answer 1

（1）連結AQ，如圖，把x=0代入y=-

1

3

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

3

x+2得-

1

3

x+2=0，解得x=6，
∴A點坐標為（6，0），B點坐標為（0，2），
∴tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，
∵tan∠OAQ=

1

3

，
∴∠BAO=∠OQA，
∵PQ⊥OA，
∴CP=CQ，
∵四邊形OQAP的面積為6，
∴

1

2

PQ•OA=6，即

1

2

PQ•6=6，
∴PQ=2，
∴CQ=1，
在Rt△CAQ中，tan∠CAQ=

CQ

CA

=

1

3

，
∴CA=3，
∴OC=6-3=3，
∴Q點坐標為（3，-1），
把Q（3，-1）代入y=

k

x

得k=3×（-1）=-3；

（2）四邊形OQAP為菱形．理由如下：
∵OC=AC=3，CP=CQ=1，
而PQ⊥AO，
∴四邊形OQAP為菱形．