Question

（2013•湖州）如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2

3

的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是

2

2

．

Answer 1

分析：（1）首先，需要證明線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；
（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出線段B₀B_n的長度，即點B運動的路徑長．

解答：解：由題意可知，OM=2

3

，點N在直線y=-x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=

2

OM=

2

×2

3

=2

6

．
如答圖①所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B₀，動點P在N點（終點）時，點B的位置為B_n，連接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°，
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°=2

6

×

3

3

=2

2

．
現在來證明線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）．
如答圖②所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i．
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP，
∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP．
又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，
∴點B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）．
綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長度為2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大．本題的要點有兩個：首先，確定點B的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中．