Question

15．已知：⊙O是四邊形ABCD的外接圓，AC與BD交于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證：EA•EC=EB•ED；
（2）如圖2，若對(duì)角線AC⊥BD，圓心O到AD的距離為2，你能求出四邊形ABCD的哪一個(gè)邊的長(zhǎng)，并寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于F，連接DF得到AF為⊙O的直徑于是得到∠ADF=90°，過(guò)O作OH⊥AD于H，根據(jù)三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過(guò)△ABE∽△ADF，得到∠BAE=∠FAD，于是結(jié)論可得．

解答 （1）證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）解：能求出BC的長(zhǎng)，
如圖2，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于F，連接DF，
∴AF為⊙O的直徑，
∴∠ADF=90°，
過(guò)O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DF}$，
∴BC=DF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．