Question

17．如圖所示，六邊形ABCDEF的六個內角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，求這個六邊形的周長．

Answer 1

分析 由于已知四條邊的長度，所以問題實質上是求AF和EF，由于六邊形每個內角相等，即每個角都是120度，分別過點B、D、F作三組對邊的平行線，可得出三個平行四邊形，同時三條線在六邊形中間交出一個等邊三角形，從而利用平行四邊形和等邊三角形的性質即可求出AF和EF．

解答 解：如圖，作BK∥AF，DG∥EF，F(xiàn)H∥DE，
BK交DG于G，F(xiàn)H交BK于K，F(xiàn)H交DG于H，

∵六邊形ABCDEF的六個內角都相等，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°，
∵AF∥BK，
∴∠ABK=180°-∠BAF=60°，
∴∠CBK=60°，
∴BK∥CD，
同理DG∥BC，F(xiàn)H∥AB，
∴ABKF、BCDG、HDEF均為平行四邊形，
∴BG=DG=CD=BC=3，F(xiàn)H=DE=2，F(xiàn)K=AB=1，
∵∠CBK=60°，BCDG是平行四邊形，
∴∠KGH=60°，
同理∠GHK=60°，
∴△GHK是等邊三角形，
∴GK=GH=HK=FH-FK=DE-AB=1，
∴AF=BK=BG+GK=CD+GK=3+1=4，
EF=HD=DG-GH=3-1=2，
∴六邊形ABCDEF的周長為AB+BC+CD+DE+EF+FA=1+3+3+2+2+4=15．

點評 本題主要考查了多邊形的內角和性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，題目小而巧，是一道鍛煉學生空間構思能力的好題．作出平行線構造出平行四邊形和等邊三角形是解答本題的關鍵所在．