Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把Rt△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．

（1）當(dāng)α=60°時(shí)，判斷點(diǎn)B是否在直線O′B′上，并說明理由；

（2）連接OO′，設(shè)OO′與AB交于點(diǎn)D，當(dāng)α為何值時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B（0，1）在直線O′B′上；（2）當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）首先證明∠BAO=30°，再求出直線O′B′的解析式即可解決問題．

（2）如圖2中，當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．只要證明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解決問題．

試題解析：解；（1）如圖1中，∵一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴B′（，2），O′（，），設(shè)直線O′B′解析式為y=kx+b，∴，，解得：，∴直線O′B′的解析式為，∵x=0時(shí)，y=1，∴點(diǎn)B（0，1）在直線O′B′上．

（2）如圖2中，當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，∴四邊形ADO′B′是平行四邊形．