Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A（﹣1，0），B（1，1）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）閱讀理解：
在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=k1x+b1（k1 ， b1為常數(shù)，且k1≠0），直線l2：y=k2x+b2（k2 ， b2為常數(shù)，且k2≠0），若l1⊥l2 ， 則k1k2=﹣1．
解決問題：
①若直線y=3x﹣1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值；
②拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方（不與A，B重合），求點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+1；

（2）解：①由直線y=3x﹣1與直線y=mx+2互相垂直，得

3m=﹣1，

即m=﹣ ；

②AB的解析式為y= x+ ，

當(dāng)PA⊥AB時(shí)，PA的解析式為y=﹣2x﹣2，

聯(lián)立PA與拋物線，得

，

解得 （舍）， ，即P（6，﹣14）；

當(dāng)PB⊥AB時(shí)，PB的解析式為y=﹣2x+3，

聯(lián)立PB與拋物線，得 ，

解得 （舍） 即P（4，﹣5），

綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（6，﹣14）（4，﹣5）；

（3）解：如圖

，

∵M(jìn)（t，﹣ t2+ t+1），Q（t， t+ ），

∴MQ=﹣ t2+

S△MAB= MQ|xB﹣xA

= （﹣ t2+ ）×2

=﹣ t2+ ，

當(dāng)t=0時(shí)，S取最大值 ，即M（0，1）．

由勾股定理，得

AB= = ，

設(shè)M到AB的距離為h，由三角形的面積，得

h= = ．

點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值是 ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求出a、b；（2）分類討論，A或B為直角頂點(diǎn)兩類，利用“閱讀理解”的結(jié)論“相互垂直的直線的斜率k 乘積=-1”構(gòu)建方程，求出直線解析式，再和拋物線聯(lián)立方程組，得出交點(diǎn)即P坐標(biāo);（3）三角形的底邊AB是定值，要求距離最大值就須求面積的最大值，須過M點(diǎn)作x軸的垂線，把三角形MAB分割成兩個(gè)有豎直邊的三角形，構(gòu)建以M的橫坐標(biāo)t 為自變量的函數(shù)S,求出其最大值，再利用三角形面積公式，求出此時(shí)的點(diǎn)M到AB的距離，就是最大距離.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．