Question

閱讀材料：
如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來解題：
設(shè)x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的兩根，求x

21

+x

22

的值．
解法可以這樣：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，則x

21

+x

22

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42．
請你根據(jù)以上解法解答下題：
已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的兩根，求：
（1）

1

x1

+

1

x2

的值；
（2）（x₁-x₂）²的值；
（3）x₁²+4x₂的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：閱讀型

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
（1）先通分得到原式=

x1+x2

x1x2

，然后利用整體代入的方法計算；
（2）先利用完全平方公式得到原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后利用整體代入的方法計算；
（3）先根據(jù)一元二次方程得解的定義得到x₁²=4x₁-2，則原式=4（x₁+x₂）-2，然后利用整體代入的方法計算．

解答：解：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
（1）原式=

x1+x2

x1x2

=

4

2

=2；
（2）原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）∵x₁是方程x²-4x+2=0的根，
∴x₁²-4x₁+2=0，即x₁²=4x₁-2，
∴原式=4x₁-2+4x₂
=4（x₁+x₂）-2
=4×4-2
=14．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．