Question

【題目】猜想：如圖①，在ABCD中，點O是對角線AC的中點，過點O的直線分別交AD、BC于點E、F．若ABCD的面積是10，則四邊形CDEF的面積是 ．

探究：如圖②，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于點E、F．若AC=4，BD=8，求四邊形ABFE的面積．

應用：如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延長BC到點D，使DC=BC，連結AD．若AC=4，，則△ABD的面積是 ．

Answer 1

【答案】5；8；12

【解析】

試題分析：猜想：首先根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，OA=OC．根據平行線的性質可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，進而可根據AAS定理證明△AEO≌△CFO，再根據全等三角形的性質可得結論；

探究：根據菱形的性質得到AD∥BC，AO=CO，BO=BD=4，根據全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，由于AC⊥BD，于是得到結果；

應用：延長AC到E使CE=AC=4，根據全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質得到∠E=∠BAC=90°，根據勾股定理得到DE==3，即可得到結論．

試題解析：猜想：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=OC．

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴四邊形CDEF的面積=S△ACD=ABCD的面積=5；

探究：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AO=CO，BO=BD=4，

∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，

在△AOE于△COF中，，

∴△AOE≌△COF，

∵AC⊥BD，

∴．

應用：延長AC到E使CE=AC=4，

在△ABC與△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠E=∠BAC=90°，

∴DE==3，

∴S△ABD=S△ADE=AEDE=×8×3=12．