Question

如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是等腰三角形，BO=BA=5，OA=6，OH⊥AB于點H，點P從點H出發(fā)，沿線段HO向點O運動，點Q從點O出發(fā)，沿y軸正半軸方向運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，點P運動到O即停止，設運動時間為t秒．
（1）求點B坐標和OH的長；
（2）設△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求t為何值時，△OPQ的面積最大，最大值是多少？
（3）當△OPQ為等腰三角形時，求運動時間t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BC⊥OA，根據三角形三線合一的性質可得OC=AC=3，然后利用勾股定理求出BC的長度，確定出B的坐標，再根據三角形的面積即可求出OH的長；
（2）過點P作PD⊥OQ，證明△POD與△OAH相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出PD的長度，再利用三角形的面積公式即可表示出S于t之間的函數關系式，然后整理成頂點式即可進行解答；
（3）分三種情況討論，①當OQ=PO時，是等腰三角形，此時直接列式求解即可；②當OQ=PQ時，是等腰三角形，此時△QOP與△BOA相似，③當PQ=OP時，根據相似三角形的對應邊成比例列式求解即可．
解答：解：（1）如圖，過B作BC⊥OA，
∵BO=BA=5，OA=6，
∴OC=AC=3，
∴BC===4，
所以B（3，4），
S_△ABO=×OA×BC=×AB×OH，
即×6×4=×5×OH，
解得OH=．

（2）過點P作PD⊥OQ，則DP∥OA，
∴∠DPO=∠HOA，
又∵∠PDO=∠OHA=90°，
∴△POD∽△OAH，
∴=，
即=，
整理的PD=-t，
∴S=OQ×PD=t（-t）=-（t-）²+，
∴S與t之間的函數關系式為：S=-（t-）²+，
當t=時，△OPQ的面積最大，最大面積是．

（3）分三種情況討論，①當OQ=PO時，t=-t，
解得t=，
②當OQ=PQ時，
∵∠QOP=∠QPO=∠OAB=∠BOA，
∴△QOP∽△BOA，
∴=，
即=，
解得t=．
③當PQ=OP時，OQ=t，OP=-t，
∵PD⊥y軸，
∴OD=，
在Rt△ODP中，
OP²=DP²+OD²，即（-t）²=（-t）²+（）²，
解得t=秒，
∴當△OPQ為等腰三角形時，運動時間t的值是或或秒．
點評：本題考查了二次函數的最值問題，相似三角形的判定與性質，點的坐標以及解直角三角形，綜合性較強，并且運算量比較大，希望同學們能夠認真計算仔細求解．