Question

如圖，已知直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若將該拋物線向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，使得頂點(diǎn)落在△OAB內(nèi)部（不包含△OAB的各條邊）時(shí)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線AB與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，若在x軸上方的拋物線上存在相異的兩點(diǎn)P₁、P₂，使△P₁AQ與△P₂AQ 的面積相等，且等于t，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在中，令x=0，解得y=2，則OB=OD=2；
令y=0，得：x+2=0，解得：x=-4，則OA=OC=4，故A的坐標(biāo)是（-4，0），B的坐標(biāo)是（0，2），C的坐標(biāo)是：（0，4），D的坐標(biāo)是：（2，0）．
設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，根據(jù)題意得：，
解得：．
則拋物線的解析式是：y=-x²-x+4．

（2）拋物線的對(duì)稱軸是：x=-=-1．
把x=-1代入拋物線的解析式得：y=-+1+4=，則頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（-1，）．
在y=x+2中，令x=-1，解得：y=．
則-=3，因而m的范圍是：3＜m＜．

（3）作EF∥AQ，使EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)EF的解析式是y=x+a，
把y=x+a代入拋物線的解析式得：x+a=-x²-x+4，
即-x²-x+4-a=0，
即：x²+3x+2a-8=0，
△=9-4（2a-8）=9-8a+32=41-8a=0，
解得：a=．
則EF的解析式是：y=x+．
直線y=x+2與y=x+之間與y軸的交點(diǎn)之間的距離是：．
則t的范圍是：≤t＜．
分析：（1）首先求得直線與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得OA，OB的長(zhǎng)，則A，B，C，D的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及拋物線與直線y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此即可求得m的范圍；
（3）△P₁AQ與△P₂AQ 的面積相等，則t的最大值一定是拋物線在直線y=x+2的上面的部分到直線的距離的最大值，到直線y=x+2的距離最大的點(diǎn)，一定與直線平行且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，可以設(shè)出直線的解析式，直線與拋物線組成的方程組只有一個(gè)解，利用判別式即可求解．兩直線之間的距離就是最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．