Question

如圖：已知?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O，且與BC、AD分別相交于E、F．求證：OE=OF．

Answer 1

分析：證法一利用?ABCD的性質得到AD∥BC，OA=OC，且∠FAC=∠ACB（或∠AFO=∠CEO），又∠AOF=∠COE，然后利用全等三角形的判定方法即可證明△AOF≌△COE，再利用全等三角形的性質即可證明結論；
證法二由?ABCD可以得到AD∥BC，OA=OC，然后利用平行線分線段成比例即可證明結論．

解答：證明：
證法一：∵?ABCD
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠FAC=∠ACB（或∠AFO=∠CEO），
又∵∠AOF=∠COE，
在△AOF和△COE中，

OA=OC ∠AOF=∠COE ∠FAC=∠ACB

，
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF；
證法二：∵?ABCD
∴AD∥BC，OA=OC，
∴

OA

OC

=

OF

OE

，
∴OE=OF．

點評：此題把全等三角形放在平行四邊形的背景中，利用平行四邊形的性質來證明三角形全等，最后利用全等三角形的性質解決問題．