Question

某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A、B兩個居民小區(qū)送電．已知居民小區(qū)A、B分別到主干線l的距離AA1=2km，BB1=1km，且A1B1=4km。
（1）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？
（2）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A1的距離是多少千米？

Answer 1

解：（1）連接AB，AB與l的交點就是所求分支點M分支點開在此處，總線路最短。
過B作l的平行線與AA₁的延長線交于F，
設A₁M=x，則MB₁=4-x，

∵BB₁⊥l，AA₁⊥l，
∴∠BB₁M=∠AA₁M=90°，又∠AMA₁=∠BMB₁，
∴△B₁BM∽△A₁AM，
∴=，即=，
解得A₁M=x=，
在直角三角形ABF中，AF=AA₁+A₁F=2+1=3，BF=B₁A₁=4，
由勾股定理得AB==5，
所以分支點M在線段A₁B₁上且距A1點千米處，最短線路的長度為5千米；
（2）如圖（2），作B點關于直線l的對稱點B₂，連接AB₂交直線l于點M，
此處即為分支點，由（1）知，A₁M長度為千米。