Question

如圖1，正方形ABCD是邊長為1的正方形，正方形EFGH的邊HE、HG與正方形ABCD的邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，頂點(diǎn)H在對角線BD上移動，設(shè)點(diǎn)M、N到BD的距離分別是h_M、h_N，四邊形MBNH的面積是S．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)H和正方形ABCD的中心O重合時(shí)（圖1），S=

1

4

，h_M+h_N=

2

2

（只要求寫出結(jié)果，不用證明）；
（2）若頂點(diǎn)H為OB的中點(diǎn)（圖2），S=

1

16

，h_M+h_N=

2

4

 （只要求寫出結(jié)果，不用證明）；
（3）按要求完成下列問題：
我們準(zhǔn)備探索：當(dāng)BH=n時(shí)，S=

1

2

n²

，h_M+h_N=

n

；
①簡要寫出你的探索過程；②在上面的橫線上填上你的結(jié)論；③證明你得到的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)頂點(diǎn)H和正方形ABCD的中心O重合時(shí)，BH=

1

2

BD，H點(diǎn)分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．先由正方形的性質(zhì)得出BD平分∠ABC，∠ABC=90°，由角平分線的性質(zhì)得到HI=HJ，垂線的定義得到∠HIB=∠HJB=90°，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形證明四邊形IBJH是正方形，再利用ASA證明△HMI≌△HNJ，則S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}，根據(jù)正方形的面積公式求出S=

1

2

BH²=

1

4

；又S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH（h_M+h_N），將數(shù)據(jù)代入即可求出h_M+h_N=

2

2

；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)H為OB的中點(diǎn)時(shí)，BH=

1

4

BD，同（1）可求出S=

1

2

BH²=

1

16

；h_M+h_N=

2

4

；
（3）當(dāng)BH=n時(shí)，同（1）可求出S=

1

2

BH²=

1

2

n²；h_M+h_N=n．

解答：解：（1）當(dāng)頂點(diǎn)H和正方形ABCD的中心O重合時(shí)，如圖1，
過H點(diǎn)分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∵HI⊥AB于I，HJ⊥BC于J，
∴HI=HJ，∠HIB=∠HJB=90°，
∴四邊形IBJH是正方形．
在△HMI和△HNJ中，

∠HIM=∠HJN=90° HI=HJ ∠IHM=∠JHN=90°-∠IHN

，
∴△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=S_△HMI+S_△HBI+S_△BHJ-S_△HNJ=S_△HBI+S_△BHJ=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

（

1

2

BD）²=

1

2

×（

2

2

）²=

1

4

；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

4

=

1

2

×

2

2

（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=

2

2

；

（2）當(dāng)頂點(diǎn)H為OB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，
過H點(diǎn)分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
同（1）可證，四邊形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

（

1

4

BD）²=

1

2

×（

2

4

）²=

1

16

；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

16

=

1

2

×

2

4

（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=

2

4

；

（3）當(dāng)BH=n時(shí)，如圖3，
過H點(diǎn)分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
同（1）可證，四邊形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

n²；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

2

n²=

1

2

n（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=n．
故答案為：（1）

1

4

，

2

2

；（2）

1

16

，

2

4

；（3）

1

2

n²，n．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形、四邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度一般，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想．