Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形沿MN折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)D處，已知AM：AN=2：3，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：首先根據(jù)AM：AN=2：3，可設(shè)AM=2k，AN=3k，進(jìn)而得到MB=4-2k，NC=4-3k，再由△AMN≌△DMN，可得DM=AM=2k，DN=AN=3k，然后證明△BMD∽△CDN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，然后用含k的代數(shù)式表示出BD、CD，再根據(jù)BC=4計(jì)算出k的值即可．

解答：解：∵AM：AN=2：3，
∴設(shè)AM=2k，AN=3k，
∵△ABC邊長為4，
∴MB=4-2k，NC=4-3k，
∵△AMN≌△DMN，
∴DM=AM=2k，DN=AN=3k，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠NDC+∠DNC=120°，
∴∠DNC=∠MDB，
∴△BMD∽△CDN，
∴BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，
∴BD=

2

3

NC=

8

3

-2k，
CD=

3

2

MB=6-3k，
于是

8

3

-2k+6-3k=4，
解得：k=

14

15

，
∴CD=

16

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用含k的代數(shù)式表示出BD、CD的長．