Question

已知線段AC=8，BD=6．
（1）已知線段AC垂直于線段BD．設圖1，圖2和圖3中的四邊形ABCD的面積分別為S₁、S₂和S₃，則S₁=

 

，S₂=

 

，S₃=

 

；
（2）如圖4，對于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點A，C，B，D重合）的任意情形，請你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的猜想；
（3）當線段BD與AC（或CA）的延長線垂直相交時，猜想順次連接點A，B，C，D，A所圍成的封閉圖形的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式進行計算；
（2）根據(jù)（1）中的計算結果，發(fā)現(xiàn)三個圖形的面積都是24．根據(jù)三角形的面積公式進行證明；
（3）仍然把四邊形的面積分割成兩個三角形，按三角形的面積公式進行證明．

解答：解：（1）S₁=24，S₂=24，S₃=24；

（2）對于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點A，C，B，D重合）的任意情形，四邊形ABCD的面積為定值24．
證明如下：
∵AC⊥BD，
∴S_△BAC=

1

2

AC•OB，S_△DAC=

1

2

AC•OD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•OB+

1

2

AC•OD=

1

2

AC•（OB+OD）=

1

2

AC•BD=24．

（3）順次連接點A，B，C，D，A所圍成的封閉圖形的面積仍為24．
證明：∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

AO•BD，S_△BCD=

1

2

CO•BD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AO•BD+

1

2

CO•BD=

1

2

BD（AO+CO）=

1

2

BD•AC=24．

點評：此題注意發(fā)現(xiàn)：對角線互相垂直的四邊形的面積總等于對角線乘積的一半．