已知線段AC=8,BD=6.
(1)已知線段AC垂直于線段BD.設圖1,圖2和圖3中的四邊形ABCD的面積分別為S1、S2和S3,則S1=
 
,S2=
 
,S3=
 
;
(2)如圖4,對于線段AC與線段BD垂直相交(垂足O不與點A,C,B,D重合)的任意情形,請你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想,并證明你的猜想;
(3)當線段BD與AC(或CA)的延長線垂直相交時,猜想順次連接點A,B,C,D,A所圍成的封閉圖形的面積是多少?
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分析:(1)根據(jù)三角形的面積公式進行計算;
(2)根據(jù)(1)中的計算結果,發(fā)現(xiàn)三個圖形的面積都是24.根據(jù)三角形的面積公式進行證明;
(3)仍然把四邊形的面積分割成兩個三角形,按三角形的面積公式進行證明.
解答:解:(1)S1=24,S2=24,S3=24;

(2)對于線段AC與線段BD垂直相交(垂足O不與點A,C,B,D重合)的任意情形,四邊形ABCD的面積為定值24.
證明如下:
∵AC⊥BD,
∴S△BAC=
1
2
AC•OB,S△DAC=
1
2
AC•OD,
∴S四邊形ABCD=
1
2
AC•OB+
1
2
AC•OD=
1
2
AC•(OB+OD)=
1
2
AC•BD=24.

(3)順次連接點A,B,C,D,A所圍成的封閉圖形的面積仍為24.
證明:∵AC⊥BD,
∴S△ABD=
1
2
AO•BD,S△BCD=
1
2
CO•BD,
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=
1
2
AO•BD+
1
2
CO•BD=
1
2
BD(AO+CO)=
1
2
BD•AC=24.
點評:此題注意發(fā)現(xiàn):對角線互相垂直的四邊形的面積總等于對角線乘積的一半.
練習冊系列答案
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(2)分別將“∠A=∠D”記為①,“OE=OF”記為②,“AB=DC”記為③.若以①、③為條件,以②為結論構成命題1;若以②、③為條件,以①為結論構成命題2.則命題1是
命題,命題2是
命題(填入“真”或“假”).

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(1)添加條件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求證:AB=DC.
(2)分別將“∠A=∠D”記為①,“∠OEF=∠OFE”記為②,“AB=DC”記為③,
若添加條件②、③,以①為結論構成另一個命題,則該命題是
命題
(選擇“真”或“假”填入空格,不必證明).

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(1)已知線段AC垂直于線段BD.設圖(1)、圖(2)和圖(3)中的四邊形ABCD的面積分別為S1,S2和S3,則S1=
24
24
,S2=
24
24
,S3=
24
24
;
(2)如圖(4),對于線段AC與線段BD垂直相交(垂足O不與點A,C,B,D重合)的任意情形,請你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想,并證明你的猜想.

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