Question

（2012•麗水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=

3

5

．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB=14，OC=

10

3

34

，AC與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
（3）已知點(diǎn)F（10，0），在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（2）在Rt△OGE中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計(jì)算面積；
（3）分兩種情況討論求解：①點(diǎn)Q在AC上；②點(diǎn)Q在AB上③當(dāng)Q在BC邊上時(shí)．求直線OP與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=

10

3

34

×

3

5

=2

34

，∴點(diǎn)E（0，2

34

）．
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+2

34

，有

10 34

3

k+2

34

=0，解得：k=-

3

5

．
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=-

3

5

x+2

34

．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=

EG

GO

=

3

5

，
設(shè)EG=3t，OG=5t，OE=

EG2+OG2

=

34

t，∴2

34

=

34

t，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S_△OEG=

1

2

OG×EG=

1

2

×10×6=30．
（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，
如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₁，

由△OP₁F≌△OP₁Q，則有P₁F⊥x軸，由于點(diǎn)P₁在直線AC上，當(dāng)x=10時(shí)，
y=-

3

5

×10+2

34

=2

34

-6，
∴點(diǎn)P₁（10，2

34

- 6）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，
如圖2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₂，

過點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)OH=a，
則BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a²+（14-a）²=100，
解得：a₁=6，a₂=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
連接QF交OP₂于點(diǎn)M．
當(dāng)Q（-6，8）時(shí)，則點(diǎn)M（2，4）．
當(dāng)Q（-8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3）．
設(shè)直線OP₂的解析式為y=kx，則
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程組

y=2x y=- 3 5 x+2 34

，得

x= 10 34 13 y= 20 34 13

．
∴P₂（

10 34

13

，

20 34

13

）；
當(dāng)Q（-8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3），
同理可求P₃（

5 34

9

，

5 34

3

）；


如備用圖4，由QP₄∥OF，QP₄=OF=10，
設(shè)點(diǎn)P₄的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為（x-10），
∵y_Q=y_P，直線AB的函數(shù)解析式為：y=x+14，
∴x-10+14=-

3

5

x+2

34

，
解得：x=

5 34 -10

4

，可得y=

5 34 +6

4

，
∴點(diǎn)P₄（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

），
當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，如圖5，

③當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，如圖5，OQ=OF=10，點(diǎn)P₅在E點(diǎn)，
∴P₅（0，2

34

），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，2

34

- 6）或（

10 34

13

，

20 34

13

）或（

5 34

9

，

5 34

3

）或（0，2

34

），（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強(qiáng)，難度大．