Question

如圖，拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸交于A(yíng)（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)（1）題中的拋物線(xiàn)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿(mǎn)足S_△PAB=8，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）題中的拋物線(xiàn)交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線(xiàn)過(guò)B、C兩點(diǎn)，而拋物線(xiàn)的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）中得出的拋物線(xiàn)的解析式，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得出AB的長(zhǎng)．△PAB中，AB的長(zhǎng)為定值，那么可根據(jù)△PAB的面積求出P到AB的距離，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將其代入拋物線(xiàn)的解析式中（分正負(fù)兩個(gè)值）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，因此只需連接BC，直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線(xiàn)BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），
∴
解得．
∴所求解析式為y=x²-2x-3．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意：S_△PAB=×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x-3=4，
∴x₁=2+1，x₂=-2+1；
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4，∴x=1，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，
即（2+1，4），（-2+1，4），（1，-4）．

（3）在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最�。�
∵AC長(zhǎng)為定值，
∴要使△QAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小，
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（3，0），
∴Q是直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)B，C的直線(xiàn)的解析式y(tǒng)=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)；
（3）題中能正確的找出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵所在．