Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC于D點(diǎn)，DE⊥DB交AB于點(diǎn)E．
（1）設(shè)⊙O是△BDE的外接圓，試說(shuō)明AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O交BC于點(diǎn)F，連接EF，試求⊙O的半徑r及的值．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓．
∴BE是⊙O的直徑，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)，連接OD．
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°，
又∵OD是⊙O的半徑
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴=
∴=
∴r=
∴BE=2r=，
又∵BE是⊙O的直徑
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴==．
分析：（1）要證明AD為切線，就必須證明OD和AC垂直，即∠ODC=90°；
（2）求的值，因?yàn)镋F和AC平行，所以有△BEF∽△BAC，即只要求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形相似的判定，以及勾股定理的應(yīng)用．