Question

如下圖，在邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形ABCD中，點(diǎn)O、E分別是AD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是以點(diǎn)O為圓心、OE的長(zhǎng)為半徑的圓弧與DC的交點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，并延長(zhǎng)交直線BC于點(diǎn)K．

(1)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)了多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

(2)過點(diǎn)P作所在圓的切線，當(dāng)該切線不與BC平行時(shí)，設(shè)它與射線AB、直線BC分別交于點(diǎn)M、G．

①當(dāng)K與B重合時(shí)，BG∶BM的值是多少？

②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BG∶BM＝3的情況？你若認(rèn)為存在，請(qǐng)求出BK的值；你若認(rèn)為不存在，試說明其中的理由．

一般地，是否存在BG∶BM＝n(n為正整數(shù))的情況？試提出你的猜想(不要求證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下圖，連結(jié)OE、OF并延長(zhǎng)分別交直線BC于N、Q． 　　當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)K從點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)Q． 　　∵O、E分別為AD、AB的中點(diǎn)，∠A＝90°， 　　∴∠AOE＝45°． 　　過點(diǎn)O作OT⊥BC于T，則∠OTN＝90°， 　　又∵ABCD是正方形，∴OT⊥AD，∠NOT＝45°． 　　∴△OTN是等腰直角三角形，OT＝NT＝2． 　　同理，TQ＝2． 　　∴NQ＝4，即點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度． 　　(2)如下圖，當(dāng)K與B重合時(shí)， 　　∵M(jìn)G與所在的圓相切于點(diǎn)P，∴OB⊥MG， 　　∴∠2＋∠3＝90°． 　　∵∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2． 　　∴Rt△BAO～Rt△GMB． 　　∴ 　　存在BG：BM＝3的情況，分析如下： 　　如下圖，假定存在這樣的點(diǎn)P，使得BG：BM＝3 　　過K作KH⊥OA于H， 　　那么，四邊形ABKH為矩形，即有KH＝AB＝2 　　∵M(jìn)G與所在的圓相切于點(diǎn)P，∴OK⊥MG于P． 　　∴∠4＋∠5＝90° 　　又∵∠G＋∠5＝90°，∴∠4＝∠G． 　　又∵∠OHK＝∠GBM＝90°，∴△OHK～△MBG． 　　∴． 　　∴OH＝， 　　∴存在這樣的點(diǎn)K，使得BG∶BM＝3． 　　∴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，存在BG∶BM＝3的情況． 　　同樣的，可以證明：在線段BC、CD及CB的延長(zhǎng)線上，存在這樣的點(diǎn)、、使得：． 　　連結(jié)交AB于點(diǎn)則：＝：＝3， 　　此時(shí)＝BC∴BK的值為 　　由此可以猜想，存在BG∶BM＝n(n為正整數(shù))的情況．