如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合),同時(shí),點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)F不與點(diǎn)D點(diǎn)、點(diǎn)C重合),點(diǎn)E與F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同,當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)B精英家教網(wǎng)E和AF相交于點(diǎn)P,連接PC,請?zhí)骄浚?BR>(1)AF和BE有怎樣的位置關(guān)系?試說明理由;
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)位置時(shí),PA:PB是多少?
(3)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到DC中點(diǎn)位置時(shí),PC和BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF,利用正方形內(nèi)角為90°,得出AF⊥DE.
(2)要求兩條線段的關(guān)系,需要把兩者放入一直角三角形中,利用三角函數(shù)求解.根據(jù)題意可知此時(shí)AF⊥BE,又有中點(diǎn)的關(guān)系,可以得出tan∠2=
1
2
,由∠1=∠2,可以求解.
(3)延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,可以得出△ADF≌△GCF,進(jìn)而得出CG=AD,通過線段的轉(zhuǎn)換可以得出BC=
1
2
BG,根據(jù)題意可以得出PC=
1
2
BG,即可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)AF⊥BE.
∵E在AD邊上(不與A、D重合),點(diǎn)F在DC邊上(不與D、C重合).
又點(diǎn)E、F分別同時(shí)從A、D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng),
∴AE=DF
∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE.

(2)由(1)知當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)F也運(yùn)動(dòng)到DC中點(diǎn),此時(shí)就有AF⊥BE.
∵F是CD的中點(diǎn),∴DF=
1
2
CD,∵AD=CD,∴DF=
1
2
AD
∵∠1=∠2,
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中,tan∠2=
DF
AD
=
1
2

∴在Rt△APB中,tan∠1=
1
2

∴PA:PB的值是1:2.精英家教網(wǎng)

(3)PC=BC.
證明:延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,
∵∠D=∠DCG=90°,DF=CF,∠AFD=∠GFC,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴CG=AD,
∵BC=AD,∴CG=BC=
1
2
BG,
由(1)知AF⊥BE,
∴∠BPG=90°,
∴△BPG為直角三角形
∴PC=
1
2
BG,
∵BC=
1
2
BG,
∴PC=BC.
點(diǎn)評:①本題考查了正方形的性質(zhì),要求有比較高的讀圖能力.
②本題是探求性試題,做這類題前要求大膽的假設(shè),根據(jù)假設(shè)再去證明.需要在平時(shí)做題中培養(yǎng)這種能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

19、如圖:正方形ABCD,M是線段BC上一點(diǎn),且不與B、C重合,AE⊥DM于E,CF⊥DM于F.求證:AE2+CF2=AD2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方形ABCD中,E點(diǎn)在BC上,AE平分∠BAC.若BE=
2
cm,則△AEC面積為
 
cm2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF.下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  )
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

17、如圖,正方形ABCD的邊長為4,將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放于點(diǎn)A處,該三角板的兩條直角邊與CD交于點(diǎn)F,與CB延長線交于點(diǎn)E,四邊形AECF的面積是
16

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接BE、DG.
(1)若ED:DC=1:2,EF=12,試求DG的長.
(2)觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案