Question

問題：你能比較兩個(gè)數(shù)2006²⁰⁰⁷與2007²⁰⁰⁶的大小嗎？為了解決問題，首先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數(shù)），然后，從分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小（填“＞”，“＜”，“=”）
①1²

＜

2¹；�、�2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；　…
（2）根據(jù)上面的歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下面兩個(gè)數(shù)的大�。�2006²⁰⁰⁷

＞

2007²⁰⁰⁶
（3）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是

當(dāng)n=1或2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n＞2的整數(shù)時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)乘方的意義分別計(jì)算后進(jìn)行判斷大��；
（2）、（3）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果可歸納出當(dāng)n=1或2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n＞2的整數(shù)時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

解答：解：（1）1²＜2¹；�、�2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6⁵；　…
（2）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶；
（3）當(dāng)n=1或2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n＞2的整數(shù)時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
故答案為＜，＜，＞，＞，＞；＞；當(dāng)n=1或2時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當(dāng)n＞2的整數(shù)時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)大小比較：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0；負(fù)數(shù)的絕對值越大，這個(gè)數(shù)越�。�