Question

已知：關于x的一元二次方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0，
（1）若m＞0，求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若12＜m＜40的整數，且方程有兩個整數根，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根的判別式來證明，△=[-2（2m-3）]²-4（4m²-14m+8）=8m+4，通過證明8m+4是正數來得到△＞0；
（2）利用求根公式求出x的值，用含m的代數式表示，為x=（2m-3）±，若12＜m＜40的整數，且方程有兩個整數根，那么2m+1必須是25--81之間的完全平方數，從而求出m的值．
解答：證明：（1）△=b²-4ac=[-2（2m-3）]²-4（4m²-14m+8）=8m+4，
∵m＞0，
∴8m+4＞0．
∴方程有兩個不相等的實數根．

（2）解：由求根公式得：
∵方程有兩個整數根，
∴必須使為整數且m為整數．
又∵12＜m＜40，
∴25＜2m+1＜81．
∴5＜＜9．
令，∴m=
令，∴m=24
令，∴m=
∴m=24．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用和利用求根公式解方程，要熟悉求根公式與根的判別式之間的關系．解題關鍵是把△轉化成完全平方式與一個正數的和的形式，才能判斷出它的正負性．
在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：
①二次項系數不為零；
②在有兩個不相等的實數根的情況下必須滿足△=b²-4ac＞0．