Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC、BC．

（1）猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

考點：

切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；圓周角定理。

分析：

（1）根據(jù)垂徑定理可以得到D是AC的中點，則OD是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可以得到OD∥BC，CD=BC；

（2）連接OC，設(shè)OP與⊙O交于點E，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等證．

解答：

（1）猜想：OD∥BC，CD=BC．

證明：∵OD⊥AC，

∴AD=DC

∵AB是⊙O的直徑，

∴OA=OB…2分

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，OD=BC

（2）證明：連接OC，設(shè)OP與⊙O交于點E．

∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，

∴，即∠AOE=∠COE

在△OAP和△OCP中，

∵OA=OC，OP=OP，

∴△OAP≌△OCP，

∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

點評：

本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，三角形的中位線定理，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題．