Question

若對任意實數x，二次三項式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒為負數，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：令y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

，二次三項式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒為負數，即二次函數y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

與x軸無交點，可得△＜0，解答即可．

解答：解：令y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

，
∵二次三項式ax²+2（a+1）x+a+

1

2

的值恒為負數，
∴二次函數y=ax²+2（a+1）x+a+

1

2

與x軸無交點，
∴△＜0，
即[2（a+1）]²-4a（a+

1

2

）＜0，
整理得，4（a²+2a+1）-4a²-2a＜0，
4a²+8a+4-4a²-2a＜0，
6a+4＜0，
解得a＜-

2

3

．
故答案為a＜-

2

3

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，將二次三項式轉化為二次函數是解題的關鍵．