如圖,平行四邊形ABCD中,點E為AB邊上一點,連接DE,點F為DE的中點,且CF⊥DE,點M為線段CF上一點,使DM=BE,CM=BC.
(1)若AB=13,CF=12,求DE的長度;
(2)求證:∠DCM=
1
3
∠DMF.
考點:平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理
專題:
分析:(1)根據(jù)勾股定理求出DF,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出DE=2DF,代入求出即可.
(2)連接CE,證△CDM≌△CEB,推出∠CDM=∠CEB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CEB=∠DCM+∠ECF=2∠DCM,推出∠CDM=2μDCM,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可.
解答:解:(1)∵平行四邊形ABCD,
∴CD=AB=13,
又∵CF⊥DE,CF=12,
∴DF=
132-122
=5,
又∵F為DE中點
∴DE=2DF=10. 
                                            
(2)連接CE,
∵CF⊥DE,F(xiàn)為DE中點,
∴CD=CE,
∴∠DCF=∠ECF,
在△CDM和△CEB中
CD=CE
CM=CB
DM=BE

∴△CDM≌△CEB,
∴∠CDM=∠CEB,
又∵∠CEB=∠DCM+∠ECF=2∠DCM,
∴∠CDM=2∠DCM,
∴∠DMF=∠CDM+∠DCF=3∠DCM,
∴∠DCM=
1
3
∠DMF.
點評:本題考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形外角的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定的應用,主要考查學生的推理能力.
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32
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