Question

如圖1，一次函數(shù)y=2x+4與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的△ABO，我們稱它為此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形．把坐標(biāo)三角形面積分成相等的二部分的直線叫做坐標(biāo)三角形的等積線．
（1）求此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形周長(zhǎng)以及分別過(guò)點(diǎn)A、B的等積線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，我們把第一個(gè)坐標(biāo)三角形△ABO記為第一代坐標(biāo)三角形．第一代坐標(biāo)三角形的等積線BA₁，AB₁記為第一對(duì)等積線，它們交于點(diǎn)O₁，四邊形A₁OB₁O₁稱為第一個(gè)坐標(biāo)四邊形．求點(diǎn)O₁的坐標(biāo)和坐標(biāo)四邊形A₁OB₁O₁面積；
（3）如圖3．第一對(duì)等積線與坐標(biāo)軸構(gòu)成了第二代坐標(biāo)三角形△BA₁O．△AOB₁分別過(guò)點(diǎn)A，B作一條平分△BA₁O，△AOB₁面積的第二對(duì)等積線BA₂，AB₂，相交于點(diǎn)O₂，如此進(jìn)行下去．…，請(qǐng)直接寫(xiě)出O_n的坐標(biāo)和第n個(gè)坐標(biāo)四邊形面積（用n表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出x的值，令x=0求出x的值，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出OA、OB的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解；根據(jù)等積線的定義求出A₁、B₁的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）聯(lián)立兩等積線解析式求解即可得到O₁的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)四邊形A₁OB₁O₁面積=S_△AOB1-S△_AA1O1，列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)等積線的定義求出OA_n、OB_n，從而得到A_n、B_n的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法寫(xiě)出AB_n、BA_n的解析式，聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)O_n的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)四邊形面積=S_△AOBn-S_△AAnOn，列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則2x+4=0，
解得，x=-2，
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
所以，周長(zhǎng)為6+2

5

，
∵AB₁、BA₁是等積線，
∴A₁（-1，0），B₁（0，2），
∴等積線的函數(shù)表達(dá)式：y=4x+4，y=x+2；

（2）聯(lián)立

y=4x+4 y=x+2

，
解得

x=- 2 3 y= 4 3

，
∴O₁（-

2

3

，

4

3

），
坐標(biāo)四邊形A₁OB₁O₁面積=S_△AOB1-S△_AA1O1，
=

1

2

×2×2-

1

2

×（2-1）×

4

3

，
=2-

2

3

，
=

4

3

；

（3）由題意得，OA_n=

2

2n

，OB_n=

4

2n

，
所以，等積線BA_n的解析式為：y=2ⁿ⁺¹x+4，
AB_n的解析式為：y=

1

2n+1

x+

4

2n

，
聯(lián)立

y=2n+1x+4 y= 1 2n+1 x+ 4 2n

解得

x=- 2 2n+1 y= 4 2n+1

，
∴點(diǎn)O_n（-

2

2n+1

，

4

2n+1

），
坐標(biāo)四邊形面積=S_△AOBn-S_△AAnOn，
=

1

2

×2×

4

2n

-

1

2

×（2-

2

2n

）×

4

2n+1

，
=

4

2n

-

4(2n-1)

2n(2n+1)

，
=

8

2n(2n+1)

，
=

23-n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，讀懂題目信息，理解等積線是三角形的相應(yīng)的中線是解題的關(guān)鍵．