Question

如圖在平面直角坐標系xoy中，正方形OABC的邊長為2厘米，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上．拋物線y=ax²+bx+c經過點A，B和點D（4，

14

3

）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以2厘米/秒的速度向點B移動，同時點Q由B點開始沿BC邊以1厘米/秒的速度向點C移動．若P、Q中有一點到達終點，則另一點也停止運動，設P、Q兩點移動的時間為t秒，S=PQ²（厘米²）寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍，當t為何值時，S最小；
（3）當s取最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．
（4）在拋物線的對稱軸上求出點M，使得M到D，A距離之差最大？寫出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意確定A、B、C、D點的坐標值，因為拋物線y=ax²+bx+c經過點A，B和點 D（4，

14

3

）．將A、B、D點的坐標值代入拋物線聯(lián)立解得a、b、c的值．
（2）首先根據(jù)題意確定P、Q點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求得PQ²用t表示的代數(shù)式，并得到t的取值范圍．將PQ²的利用配方法求得PQ²取最小值時的t的取值．
（3）由（2）中得到t的取值，確定出P、Q點的坐標值．分別就①若以BQ為對角線，②若PB為對角線兩種情況．
根據(jù)平行四邊形的P、Q、B三點求得R點的坐標值．并驗證是否在拋物線上．
（4）首先根據(jù)題意確定對稱軸為x=1、及A、D點的坐標值．因為A、D兩點位于對稱軸x=1的兩邊，故作D點關于x=1的對稱點D'，連接AD′，直線AD′與直線x=1的交點即為所求之．

解答：解：（1）由題意得A（0，-2）、B（2，-2）、C（2，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A，B和點 D（4，

14

3

），
∴

-2=c -2=4a+2b+c 14 3 =16a+4b+c

，
解得c=-2、a=

5

6

、b=-

5

3

，
∴拋物線的解析式為y=

5

6

x2-

5

3

x-2．

（2）由題意知P點的坐標為（2t，-2）、Q點的坐標為（2，t-2），
則PQ²=（2t-2）²+（-2-t+2）²=5t²-8t+4=5（t-

4

5

）²+

4

5

，
∴S=PQ²=5t²-8t+4（0≤t≤1），
當t=

4

5

時，S最�。�

（3）由（1）（2）知，P（

8

5

，-2）、Q（2，-

6

5

）、B（2，-2），
①若以BQ為對角線，
∵平行四邊形對角線的交點平分兩對角線．
∴R點的坐標為(

12

5

，-

6

5

)，
t=

4

5

時，R(

12

5

，-

6

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，
當x=

12

5

時，y=-

6

5

．
∴R在拋物線上．
②若PB為對角線，當t=

4

5

時，R(

8

5

，-

14

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，當x=

8

5

時，
y=-

38

15

≠-

14

5

，
∴R(

8

5

，-

14

5

)不在拋物線上，
綜上可知，拋物線上存在使以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．

（4）由（1）知，該拋物線的對稱軸為x=1，
∵D、A點位于對稱軸x=1的兩側，
故作D點關于x=1的對稱點D′（-2，

14

3

）
則直線AD′的解析式為y=

14 3 +2

-2-0

x-2，
即y=-

10

3

x-2
當x=1時，y=-

16

3

∴M（1，-

16

3

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法、動點問題、兩點間的距離公式、點關于直線的對稱點等知識點．主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．