Question

已知二次函數(shù)y=x²+2ax+b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x₁，x₂滿足：1≤x₁＜x₂≤2．
證明：（Ⅰ）b＜a²；（Ⅱ）0＜a+b＜2．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵與x軸有兩個交點，
∴△=b²-4ac=（2a）²-4×1×b＞0，
整理得，b＜a²；

（Ⅱ）根據(jù)根與系數(shù)的關系，x₁+x₂=-=-=-a，
x₁•x₂===b，
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴2＜-a＜4，1＜b＜4，
∴-4＜a＜-2，
∴-3＜a+b＜2，
又∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴a、b都是正數(shù)，
∴0＜a+b＜2．
分析：（Ⅰ）利用根的判別式列式整理即可得解；
（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關系列式表示出a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b都是正數(shù)即可證明．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根的判別式與根與系數(shù)的關系，需要注意根據(jù)兩個根都是正數(shù)的條件可知a、b都是正數(shù)的利用．