Question

3．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D是線段AC中點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BE交BE的延長(zhǎng)錢于點(diǎn)F，連接AF，過點(diǎn)A作AG⊥AF于點(diǎn)A，交BF于點(diǎn)G
（1）若∠ABE=∠C，BC=2$\sqrt{5}$，則AE=1；
（2）若點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，求證：GE-FE=FD；
（3）如圖2，連接BD，點(diǎn)N為BD中點(diǎn)，連接GN，若AD=GF，請(qǐng)直接寫出NG、GE、EA的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理，求得Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出AB²=AE×AC，進(jìn)而得到AE長(zhǎng)；
（2）過A作AH⊥BF于H，則∠AHE=90°，先判定△ABG≌△ADF（ASA），得出AG=AF，進(jìn)而得到△AGF是等腰直角三角形，再判定△AEH≌△DEF（AAS），得出EH=EF，AH=DF=GH，最后根據(jù)GE-HE=GH，可得GE-FE=FD；
（3）連接AN，NF，根據(jù)等腰Rt△AGF與等腰Rt△ADN全等，得出AG=AF=AN=ND，再判定△ANF是等邊三角形，得出∠NAF=∠ANF=60°，最后通過判定△ANG≌△NDF（SAS），得出GN=FD=BG，再根據(jù)BG+GE=BE=2AE，即可得到NG+GE=2AE．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，BC=2$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可得AB=2，AC=4，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAB=90°，
∴△BAE∽△CAB，
∴AB²=AE×AC，即2²=AE×4，
解得AE=1，
故答案為：1；

（2）證明：如圖1，過A作AH⊥BF于H，則∠AHE=90°，
∵DF⊥BE，∠BAC=90°，∠AEB=∠FED，
∴∠ABG=∠ADF，
∵AG⊥AF，∠BAC=90°，
∴∠BAG=∠DAF，
∵AC=2AB，D是線段AC中點(diǎn)，
∴AB=AD，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAG=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG=AF，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{1}{2}$GF=GH，
∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEH和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠DFE}\\{∠AEH=∠DEF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DEF（AAS），
∴EH=EF，AH=DF=GH，
∵GE-HE=GH，
∴GE-FE=FD；

（3）NG、GE、EA的數(shù)量關(guān)系為：NG+GE=2AE．
理由：如圖2，連接AN，NF，
由（2）可得，△AGF是等腰直角三角形，
∵AB=AD，∠BAD=90°，N是BD的中點(diǎn)，
∴∠DAN=45°=∠ADN，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵AD=GF，
∴等腰Rt△AGF與等腰Rt△ADN全等，
∴AG=AF=AN=ND，
∵Rt△BDF中，N是BD的中點(diǎn)，
∴NF=ND=BN，
∴AN=NF=AF，
即△ANF是等邊三角形，
∴∠NAF=∠ANF=60°，
∵∠DAN=45°，△ABG≌△ADF，
∴∠DAF=15°=∠BAG，
∵∠ABN=∠BAN=45°，
∴∠GAN=30°，
∵∠AGF=45°，
∴∠ABE=30°，
∴Rt△ABE中，BE=2AE，
∵∠ABN=45°，
∴∠GBN=15°，
由NF=ND=NB，可得∠FND=2∠GBN=30°，
在△ANG和△NDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=NF}\\{∠GAN=∠FND}\\{AN=ND}\end{array}\right.$，
∴△ANG≌△NDF（SAS），
∴GN=FD=BG，
∵BG+GE=BE=2AE，
∴NG+GE=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰直角三角形以及等邊三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等或相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解．解題時(shí)注意，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．