Question

9．已知：菱形OBCD在平面直角坐標系中位置如圖所示，點B的坐標為（2，0），∠DOB=60°．
（1）點D的坐標為（1，$\sqrt{3}$），點C的坐標為（3，$\sqrt{3}$）；
（2）若點P是對角線OC上一動點，點E（0，-$\sqrt{3}$），求PE+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）作DF⊥OB于點F，在直角△ODF中利用三角函數求得DF和OF的長，則D的坐標即可求得，然后根據CD∥OB，則C的坐標即可求得；
（2）B關于OC的對稱點是D，則DE的長就是PE+PB的最小值，作DH⊥y軸于點H，首先在直角△OGH中利用勾股定理求得DH和OH的長，然后在直角△HED中利用勾股定理求解．

解答 解：（1）作DF⊥OB于點F．
∵B的坐標是（2，0），
∴OB=2，
∴菱形OBCD中，OD=OB=CD=2，
在直角△ODF中，DF=OD•sin∠DOB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，OF=OD•cos∠DOB=2×$\frac{1}{2}$=1，
則D的坐標是（1，$\sqrt{3}$）．
則C的坐標是（3，$\sqrt{3}$）．
故答案是：（1，$\sqrt{3}$），（3，$\sqrt{3}$）；
（2）作DH⊥x軸于點H，連接DE．
在直角△OGH中，∠HOG=90°-∠DOB=90°-60°=30°．
GH=OD•sin∠HOG=2×$\frac{1}{2}$=1，OH=OG•cos∠HOG=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
則HE=2$\sqrt{3}$．
在直角△HEG中，DE=$\sqrt{H{G}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$．
即PE+PB的最小值是$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了菱形的性質以及路徑最短問題，根據菱形的對稱性確定PE+PB最小的條件是關鍵．