Question

(1)如圖中，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A，B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結AC，AD．

求證：(1)①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．(2)在問題(1)中，直線l向上平移，使l與⊙O相切，其他條件不變．

①請你在圖中標記字母(重合點任選其中一個字母標記)；②新圖形中，相應于問題(1)中的兩個結論(相應字母隨新字母變更)是否成立？如果成立，請給出證明：如果不成立；請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)①連BD，由AB是⊙O直徑，得∠ADB＝，∴∠2＋∠B＝，又∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠1＝∠B，AF⊥l于G，∴∠1＋∠3＝，∴∠2＝∠3，(如圖(2))即∠BAD＝∠CAG． 　�、谶BDF，由四邊形ACDF內接于⊙O，得∠1＝∠AFD，又∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠3＋∠5，而△ACE∽△AFD，∴＝，即AC·AD＝AF·AE． 　　(2)當直線l向上平移與⊙O相切于C點，(1)中兩個結論改為：①∠BAC＝∠CAG，②AC2＝AE·AF，這兩個結論仍成立，證明如下： 　�、龠B結CB，CG切⊙O于C，得∠1＝∠2，AB是⊙O直徑，得∠2＋∠3＝，CG⊥AG，得∠1＋∠4＝，即∠3＝∠4，則∠BAC＝∠CAG． 　　②連結CF，由∠GCA＝∠2＝∠GFC，得∠ECA＝∠CFA． 　　再由∠3＝∠4，可得△AFC∽△ACE，從而得AC2＝AE·AF，(如圖)

提示：

名師導引：(1)綜合運用圓周角，圓內接四邊形，直徑所對圓周角為，三角形相似識別定理加以分析．①∠1＝∠B，∠2＋∠B＝，這是關鍵等量關系，②∠2＋∠4＝∠3＋∠5可推出(如圖(1))△ACE∽△AFD，(2)畫圖探究仍然成立． 　　探究點：(2)是否成立，正確畫出圖形①從切線相關性質，圓周角，圓內接四邊形有關角的特征分析，得出∠2＋∠3＝，∠1＋∠4＝，②探索△AFC∽△ACE，關鍵證∠ECA＝∠CFA．