Question

教材第66頁探索平方差公式時(shí)設(shè)置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的大正方形紙片上（如圖①），你能通過計(jì)算未蓋住部分的面積得到公式（a+b）（a-b）=a²-b²嗎？（不必證明）

（1）如果將小正方形的一邊延長（如圖②），是否也能推導(dǎo)公式？請完成證明．
（2）面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖③，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為4×

1

2

ab+（a-b）²，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：a²+b²=c²．圖④為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你完成證明．
（3）試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋（a-2b）²=a²-4ab+4b²，畫在下面的網(wǎng)格（圖⑤）中，并標(biāo)出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

分析：利用正方形和梯形的面積公式可知，圖中未蓋住部分的面積=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（1）利用正方形和長方形的面積公式可知，圖中未蓋住部分的面積=a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（2）此直角梯形的面積有三部分組成，利用直角梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和列出方程并整理．
（3）已知圖形面積的表達(dá)式，即可根據(jù)表達(dá)式得出圖形的邊長的表達(dá)式，即可畫出圖形．

解答：解：（1）未蓋住部分的面積為：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），
也可以看作a²-b²，
則（a+b）（a-b）=a²-b²；

（2）因?yàn)镾_梯形=

1

2

（a+b）²=

1

2

（a²+2ab+b²），
又因?yàn)镾_梯形=

1

2

ab+

1

2

ba+

1

2

c²，
所以

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

（2ab+c²），

1

2

a²+ab+

1

2

b²=ab+

1

2

c²，
得c²=a²+b²．

（3）∵圖形面積為：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴邊長為=a-2b，
由此可畫出的圖形為：

點(diǎn)評：（1）考查了平方差公式的幾何意義，運(yùn)用不同方法表示未蓋住部分面積是解題的關(guān)鍵．
（2）此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個(gè)東西的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．
（3）考查了多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)用以及由多項(xiàng)式畫圖形的創(chuàng)新題型．