Question

（2008•莆田）如圖，拋物線c₁：y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)F，交拋物線c₁點(diǎn)E．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，求線段PE長的最大值；
（3）當(dāng)PE為最大值時，把拋物線c₁向右平移得到拋物線c₂，拋物線c₂與線段BE交于點(diǎn)M，若直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，則拋物線c₁應(yīng)向右平移幾個單位長度可得到拋物線c₂？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的解析式即可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由于直線l與y軸平行，那么F、P、E三點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該相等，那么PE的長可看做是直線BC的函數(shù)值和拋物線的函數(shù)值的差．由此可得出關(guān)于PE的長和三點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的單位設(shè)出c₂的解析式．由于直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論，可過M作x軸的垂線，先根據(jù)相似三角形求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)直線BE的解析式，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．由于拋物線c₂經(jīng)過M點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線需要平移的單位．
解答：解：（1）已知拋物線過A、B、C三點(diǎn)，令y=0，
則有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
則有：3k-3=0，k=1，
因此直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-）²+（0≤a≤3）
因此PE長的最大值為．

（3）由（2）可知：F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．
因此BF=OB-OF=．
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b．則有：
，
解得：，
∴直線BE的解析式為y=x-．
設(shè)平移后的拋物線c₂的解析式為y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
過M作MN⊥x軸于N，
①M(fèi)E：MB=2：1；
∵M(jìn)N∥EF
∴
∴BN=，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），又直線BE過M點(diǎn)．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）．
由于拋物線c2過M點(diǎn)，
因此-=（-1-k）²-4，
解得k=（負(fù)值舍去）．
②ME：MB=1：2；

∴BN=1
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-）．
由于拋物線c₂過M點(diǎn)，
則有-=（2-1-k）²-4，
解得k=1+（負(fù)值舍去）．
因此拋物線c₁應(yīng)向右平移或1+個單位長度后可得到拋物線c₂．
點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識點(diǎn)，考查了學(xué)生分類討論數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．