Question

如圖，△ABC的高AD為3，BC為4，直線EF∥BC，交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF（點P與點A在直線EF的異側(cè)），設(shè)EF為x，△PEF與四邊形BCEF重合部分的面積為y．
（1）求線段AG（用x表示）；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖和已知條件知，△AEF∽△ABC從而得AG表達式，分兩種情況當點P在四邊形BCFE的內(nèi)部或BC邊上時易得PH=

1

2

x的關(guān)系；
（2）當點P在四邊形BCFE的外部時，過點P作PH⊥EF易得PH=

1

2

x，從而推出△PMN∽△PEF根據(jù)比例關(guān)系推出△PMN為等腰三角形，把△PMN用x表示出來，最后根據(jù)邊長關(guān)系求出x的取值范圍．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AG

AD

，
∴

x

4

=

AG

3

，AG=

3

4

x．

（2）當點P在四邊形BCFE的內(nèi)部或BC邊上時，如圖1過點P作PH⊥EF于H，
∵等腰直角三角形PEF，
∴PH=

1

2

x，
∴y=

1

2

EF×PH=

1

4

x2．
∵PH≤DG，

1

2

x≤3-

3

4

x，0＜x≤

12

5

．
當點P在四邊形BCFE的外部時，如圖2，
過點P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理得PH=

1

2

x，
∵EF∥BC，
∴∠KHG=∠HKD=90°，
∴四邊形HGDK為矩形，
∴HK=DG=3-

3

4

x，
∴PK=

1

2

x-(3-

3

4

x)=

5

4

x-3，
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴

PM

PE

=

PN

PF

，
∴△PMN為等腰直角三角形．
∴S_△PMN=

1

2

MN×PK=PK²=(

5

4

x-3)2=

25

16

x2-

15

2

x+9，
∴y=

1

4

x2-(

25

16

x2-

15

2

x+9)=-

21

16

x2+

15

2

x-9，
∵PH＞DG，

1

2

 x＞3-

3

4

x，x＞

12

5

∴

12

5

＜x＜4．

點評：此題多次用到三角形相似的性質(zhì)，這也是平面幾何題通常用的方法，作輔助線找三角形相似，把幾何關(guān)系用函數(shù)表示出來，并求出定義域，是很好的題型．