Question

如圖，OB是矩形OABC的對(duì)角線，拋物線y=-x²+x+6經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)：
（2）D、E分別是OC、OB上的點(diǎn)，OD=5，OE=2EB，過D、E的直線交x軸于F，試說明△FOE與△OBC是否相似；
（3）若點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線解析式可求C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則EG∥BA，由平行得△OEG∽△OBH，利用相似比求OG，EG，確定E點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線DE的解析式，求OF及GF，利用比例證明△OGE∽△EGF，得出∠EOG=∠FEG，利用角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化，證明△FOE∽△OBC；
（3）存在．根據(jù)①四邊形ODMN為菱形，②四邊形ODNM為菱形，③四邊形OMDN為菱形，三種情況分別畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知條件求N點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)x=0，則y=6，∴C（0，6），
又矩形OABC中，BC∥x軸，
∵拋物線y=-x²+x+6經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，
∴B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=對(duì)稱，
∴B（3，6）；

（2）如圖1，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴，
又∵OE=2EB，
∴=，∴==，
∴OG=2，EG=4，∴E（2，4），
又∵D（0，5），設(shè)直線DE解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴直線DE解析式為y=-x+5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=10，則OF=10，GF=OF-OG=8，
∴===，
又∠OGE=∠EGF=90°，∴△OGE∽△EGF，
∴∠EOG=∠FEG，∴∠FEO=∠FEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG=90°=∠OCB，
BC∥x軸，則∠OBC=∠EOF，
∴△FOE∽△OBC；

（3）存在．
①如圖1，當(dāng)OD=DM=MN=NO=5時(shí)，四邊形ODMN為菱形，
作MP⊥y軸于點(diǎn)P，則MP∥x軸，∴△MPD∽△FOD，∴==，
又∵OF=10，在Rt△ODF中，F(xiàn)D===5，
∴==，∴MP=2，PD=，
∴M（-2，5+），N（-2，）；
②如圖2，當(dāng)OD=DN=MN=MO=5時(shí)，四邊形ODNM為菱形，
延長(zhǎng)NM交x軸于P，則MP⊥x軸，
∵點(diǎn)M在直線y=-x+5上，∴設(shè)M（a，-a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，a²+（-a+5）²=5²，
解得a₁=4，a₂=0（舍去），
∴M（4，3），N（4，8）；
③如圖3，當(dāng)OM=MD=DN=NO時(shí)，四邊形OMDN為菱形，
連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=，∴-x_M+5=，x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，∴N（-5，）．
綜上所述x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，
分別是N₁（-2，），N₂（4，8），N₃（-5，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)矩形、菱形的性質(zhì)，結(jié)合題目的已知條件，分類討論．