Question

已知：如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證FG=

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（AB+AC+BC）．
若：（1）BD、CE分別是△ABC的內角平分線（如圖2）；
（2）BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），
則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．

Answer 1

分析：（1）都是內角平分線時，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點來求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延長AF交BC于K，那么三角形ABK就是個等腰三角形，AF=FK，如果延長AG到H，那么同理可證AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位線，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=

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2

（AB+AC-BC）；
（2）證法同（1）先根據(jù)題目給出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通過延長AF來得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=

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2

（BC+AC-AB）．

解答：解：（1）猜想結果：如圖結論為FG=

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2

（AB+AC-BC）
證明：分別延長AG、AF交BC于H、K，
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD=∠FBK BF=BF ∠BFA=∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可證，AG=HG，AC=HC
∴FG=

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2

HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=

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2

（AB+AC-BC）

（2）圖3的結論為FG=

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2

（BC+AC-AB）．
證明：分別延長AG、AF交BC或延長線于H、K
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD=∠DBK BF=BF ∠BFA=∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可證，AG=HG，AC=HC，
∴FG=

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2

KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=

1

2

（BC+AC-AB）．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質以及全等三角形的判定等知識點．