Question

已知，拋物線y=ax²-2ax-3與x軸交于A（-1，0）和B兩點，與y軸交于點C，其頂點為M．
（1）求a的值和M的坐標(biāo)；
（2）將拋物線平移，使其頂點在射線CB上，且A點的對應(yīng)點為A′，若S_△A'AC=9，求平移后的拋物線的解析式；
（3）如圖2，將原拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方得到新圖象，當(dāng)直線y=kx-2k+5與新圖象有三個公共點時，求k的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將點A（-1，0）代入拋物線解析式，可得出a的值，由拋物線解析式可確定頂點M的坐標(biāo)；
（2）求得直線BC的解析式為y=x-3，設(shè)平移后頂點坐標(biāo)為（b，b-3），由平移前頂點坐標(biāo)為（1，-4），可得拋物線向右平移了（b-1）個單位，向上平移了（b+1）個單位，從而可得A'坐標(biāo)為（b-2，b-3），求出直線A'C的解析式，設(shè)直線A'C與x軸的交點為D，則可得點D的坐標(biāo)，由S_△A'AC=9，求出b的值，確定頂點坐標(biāo)，繼而得出平移后拋物線解析式；
（3）y=kx-2k+5=k（x-2）+5，可得直線經(jīng)過定點（2，5），畫出圖形，分別找到兩個極限位置，求出k的值，繼而得出k的取值范圍．

解答：解：（1）將點A（-1，0）代入拋物線解析式可得：0=a+2a-3，
解得：a=1，
拋物線解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）由拋物線解析式為：y=x²-2x-3，可得點A（-1，0），點B（3，0），點C（0，-3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B、C的坐標(biāo)代入可得：

3k-3=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
故直線BC的解析式為：y=x-3，
設(shè)平移后拋物線的頂點為（b，b-3），
∵平移前頂點坐標(biāo)為（1，-4），
∴拋物線向右平移了（b-1）個單位，向上平移了（b+1）個單位，
∴點A平移后A'的坐標(biāo)為（b-2，b-3），
設(shè)直線A'C的解析式為y=mx+n，
將點A'、C的坐標(biāo)代入可得：

(b-2)m+n=b-3 n=-3

，
解得：

m= b b-2 n=-3

，
則直線A'C的解析式為：y=

b

b-2

x-3，
設(shè)直線A'C與x軸的交點為D，則點D的坐標(biāo)為（

3b-6

b

，0），

S_△A'AC=S_△A'AD+S_△ADC=

1

2

AD×（點A'縱坐標(biāo)-點C縱坐標(biāo)）=

1

2

（

3b-6

b

+1）×b=9，
解得：b=6，
故平移后頂點坐標(biāo)為（6，3），
則可得平移后拋物線解析式為：y=（x-6）²+3．

（3）∵y=kx-2k+5=k（x-2）+5，
∴直線y=kx-2k+5經(jīng)過定點N（2，5），

要使直線y=kx-2k+5與新圖象有三個公共點，則可得到如圖所示的兩個極限位置，
①直線經(jīng)過A、N，此時將點A（-1，0）代入可得：0=-k-2k+5，
解得：k=

5

3

；
②直線經(jīng)過點N與拋物線相切時，此時拋物線解析式為：y=-（x²-2x-3）=-x²+2x+3，
聯(lián)立拋物線與直線解析式可得：-x²+2x+3=kx-2k+5，
整理可得：x²+（k-2）x-2k+2=0，
△=（k-2）²-4（-2k+2）=0，
解得：k=-2±2

2

，
由函數(shù)圖象，可得k＞0，
∴k=-2+2

2

，
綜上可得：直線y=kx-2k+5與新圖象有三個公共點時，-2+2

2

≤k≤

5

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的幾何變換，一次函數(shù)與拋物線的交點問題，后兩問難度較大，解答本題要求同學(xué)們有扎實的基本功，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．