【題目】如圖1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,點E在AB上,F是線段BD的中點,連接CE、FE.
(1)若AD=3,BE=4,求EF的長;
(2)求證:CE=EF;
(3)將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉,使AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點F,問(2)中的結論是否仍然成立,并說明理由.
【答案】(1)EF =2.5;(2)證明見解析;(3)(1)中的結論仍然成立.理由見解析.
【解析】試題分析:(1)等腰直角三角形的斜邊長是直角邊的 倍,得到DE=3由于BE=4,利用勾股定理,得BD=5,再利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,得以解決;
(2)連接CF,需要證明 是等腰直角三角形,根據四點共圓,得到點F是四邊形DCBE的外接圓,且F是圓心,根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍,得 從而 ,再根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,得 ,得證 是等腰直角三角形,結論得證;
(3)連接CF,延長EF交CB于點G,利用ASA證明△EDF≌△GBF,得出EF=GF,BG=DE=AE,進而證明CE=CG,得出△CEF為等腰直角三角形,利用三線合一證明 結論得證。
試題解析:
(1)∵∠AED=90°,AE=DE,AD=3,
∴AE=DE=3,
在Rt△BDE中,
∵DE=3,BE=4,
∴BD=5,
又∵F是線段BD的中點,
∴EF=BD=2.5;
(2)連接CF,線段CE與FE之間的數量關系是CE=FE;
∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四點共圓
且BD是該圓的直徑,
∵點F是BD的中點,
∴點F是圓心,
∴EF=CF=FD=FB,
∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,
由圓周角定理得:∠DCE=∠DBE,
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴CE=EF.
(3)(1)中的結論仍然成立.
如圖,連接CF,延長EF交CB于點G,
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴DE∥BC,
∴∠EDF=∠GBF,
在△EDF和△GBF中,
,
∴△EDF≌△GBF,
∴EF=GF,BG=DE=AE,
∵AC=BC,
∴CE=CG,
∴∠EFC=90°,CF=EF,
∴△CEF為等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∴CE=FE;
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【題目】如圖1,已知點A(-2,0).點D在y軸上,連接AD并將它沿x軸向右平移至BC的位置,且點B坐標為(4,0),連接CD,OD=AB.
(1)線段CD的長為 ,點C的坐標為 ;
(2)如圖2,若點M從點B出發(fā),以1個單位長度/秒的速度沿著x軸向左運動,同時點N從原點O出發(fā),以相同的速度沿折線OD→DC運動(當N到達點C時,兩點均停止運動).假設運動時間為t秒.
①t為何值時,MN∥y軸;
②求t為何值時,S△BCM=2S△ADN.
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【題目】如圖:已知AB=10,點C、D在線段AB上且AC=DB=2; P是線段CD上的動點,分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB,連結EF,設EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時,則點G移動路徑的長是________.
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求四邊形OCED的周長和面積.
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【題目】課前預習是學習的重要環(huán)節(jié),為了了解所教班級學生完成課前預習的具體情況,某班主任對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查,他將調查結果分為四類:A.優(yōu)秀,B.良好,C.一般,D.較差,并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)本次調查的樣本容量是 ;其中A類女生有 名,D類學生有 名;
(2)將條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若從被調查的A類和D類學生中各隨機選取一位學生進行“一幫一”輔導學習,即A類學生輔導D類學生,請用列表法或畫樹狀圖的方法求出所選兩位同學中恰好是一位女同學輔導一位男同學的概率.
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【題目】已知:如圖,在正方形外取一點,連接、、.過點作的垂線交于點.若,.下列結論:①;②點到直線的距離為;③;④;⑤;其中正確結論的序號是( )
A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤
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【題目】如圖,∠MON=ɑ(0°<ɑ<180°),點A.B分別在OM、ON上運動(不與點O重合).
(1)如圖1,∠MON=90°,BC是∠ABN的平分線,BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交與點D.
①若∠BAO=60°,則∠D=___.
②猜想:∠D的度數是否隨A,B的移動發(fā)生變化?并說明理由。
(2)如圖2,∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,其余條件不變,則∠D=___°(用含α、n的代數式表示)
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【題目】我市舉行“第十七屆中小學生書法大賽”作品比賽,已知每幅參賽作品成績記為,組委會從1000幅書法作品中隨機抽取了部分參賽作品,統(tǒng)計了它們的成績,并繪制成如下統(tǒng)計圖表.
分數段 | 頻數 | 百分比 |
38 | 0.38 | |
| 0.32 | |
|
| |
10 | 0.1 | |
合計 | 100 | 1 |
書法作品比賽成績頻數直方圖
根據上述信息,解答下列問題:
(1)請你把表中空白處的數據填寫完整.
(2)請補全書法作品比賽成績頻數直方圖.
(3)若80分(含80分)以上的書法作品將被評為等級獎,試估計全市獲得等級的幅數.
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