(2010•蕭山區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上,邊CO在y軸的正半軸上,且AB=2,OB=2,矩形ABOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD,且點A落在Y軸上的E點,點B的對應點為點F,點C的對應點為點D.
(1)求F,E,D三點的坐標;
(2)若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點F,E,D,求此拋物線的解析式;
(3)在X軸上方的拋物線上求點Q的坐標,使得△QOB的面積等于矩形ABOC的面積.

【答案】分析:(1)連接AO,過D點作DH⊥x軸于H,過F作FG⊥x軸于G,由AB=2,OB=2,利用勾股定理可求出OA的長,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出E點的坐標;由銳角三角函數(shù)的定義可知∠AOB=30°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷出△AOB≌△EOF,進而求出F的坐標,同理可求出D點坐標.
(2)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點F,E,D,用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(3)根據(jù)點Q在x軸的上方,可設三角形QOB的OB邊上的高為h,根據(jù)三角形及矩形的面積公式可求出h的值,代入拋物線的解析式即可求出Q點的坐標.
解答:解:(1)連接AO
∵矩形ABOC,AB=2,OB=2
∴AO=4,
∵矩形ABOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD,
A落在y軸上的點E,
∴AO=EO=4∴E(0,4),
過D點作DH⊥x軸于H,
∵∠DHO=∠ABO=90°,
∵∠AOB=∠EOF,∠EOF+∠DOE=90°,
∴∠AOB+∠DOE=90°,
∵∠DOH+∠DOE=90°,
∴∠DOH=∠AOB,
∴△DHO∽△ABO,
==
∵AB=2,OB=2,DO=2,AO=4,
∴DH=1,OH=
∴D(-,1),
同理得∴F(,3).

(2)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點F,E,D,
∴C=4,
,
求得:a=-,b=,c=4,
所求拋物線為:y=-x2+x+4.

(3)因為在x軸上方的拋物線上有點Q,使得三角形QOB的面積等于矩形BAOC的面積,
設三角形QOB的OB邊上的高為h,則×2×h=2×2
所以h=4,
因為點Q在x軸上方的拋物線上,
所以Q(x,4),
∴4=-x2+x+4,x1=0,x2=,
所以Q的坐標是(0,4)或(,4).
點評:本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標特點,有一定的綜合性,但難度適中.
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